我们可以通过与定律性预测进行比较来考察定量预测的风险来源。定律可以表达为y＝f(x；α)。例如著名的定律E＝MC²，前式中y＝E，x＝{x₁＝M，x₂＝C}，α＝1，f(x;α)=αx1x22。可见，定律性预测对y的预测建立在其与x之间确定、简洁、稳定的关系基础上，系数α亦是公理中所确知的常量。这样，给定x的取值就可精确计算出y的取值(给予任何M和C的取值都能够精确地预测E的取值)。定律性预测的特点是程序简单(数学计算)、预测结果精确、具有高度确定性。定律性预测的失败风险主要来自理论错误的风险，即定律自身的谬误或局限。

基于模型的定量预测与定律性预测在数学表达形式上，唯一不同之处就是多了一个误差项ε：

y＝f(x;α)＋ε

然而，多了ε这个看似简单的差别却反映了两种预测截然不同的预测原理、方法、难度和风险。误差项ε表明，我们对关于y的知识是局部的、不完整的，未知的部分可能远远大于已知，因而对y的预测也必然具有不确定性，无法也不应该预测y的某一特定取值。相反，由于ε代表我们现有知识无法确知的关于y的世界，我们所要预测的对象y被看作一个随机变量，从本质上无法确知，因而预测的任务只可能是关于随机事件y的发生概率，如p(y∈I)(y在某一特定区间I取值的概率)。此外，由于误差项ε的存在，在可知部分f(x;α)中，参数α是一个未知量，需使用数据和统计方法获得其估计值。

国际关系现象相对于物理世界的现象更为复杂，国际关系学中也缺乏具有像物理定律那样的公理性理论，通常难以用简洁确定的公式来表达。国际关系学者在预测时必须承认，我们对国际现象的认识是局部的、不完全的、具有不确定性的，在任何一个时空点上均有广大的未知部分等待研究者去探索。承认认识的局限性和有限性，并试图明确我们在任一阶段认知的界限——我们知道什么，不知道什么，什么是f(x;α)部分，什么是ε——是更好地运用已知探寻未知、运用现在探寻未来的前提。其实，定量预测也是自然科学预测的重要手段，自然科学也只有很少的部分能够追求和拥有可用简单完美的数学公式表达出来的理论，大部分的自然科学预测也是在不完全知识下的预测，如基因选择研究中的预测。¹²

定量预测是基于对事件不完全的信息和知识来预测事件发生的概率，预测方法和过程是统计推论而不是数学计算，具有不可避免的不确定性。预测的风险有多种来源，概括起来主要有内在风险、参数风险和模型风险三类。¹³

第一类风险是内在风险，即前文所提到的对现象不完全认识所带来的预测风险，体现为预测模型本身是或然性模型(probabilistic model)而非确定性模型(deterministic model)，因此称为内在风险。从研究者方面看，我们的现有知识、信息和分析手段，只能提供对社会现象的局部理解，而大量的未知就意味着预测的偏差风险。从客观世界方面看，客观事件的发生与否，本身取决于系统性的机制和随机因素的共同作用。科学研究只对系统性机制部分——事件演化的稳定机制以及与其他事件的稳定关系——进行理解和掌握，而随机因素的冲击和影响本质上是不可预测的部分。由此可见，研究者的主观认知和待预测事件的客观规律两方面都带来了预测的内在风险，体现为上文中数学表达式中的随机项ε，不确定性程度可由ε的估计值大小来测量。

第二类风险是参数风险，即随机事件y与其预测量x之间客观上存在的由α和f(.)共同定义的关系，其中参数α是一个常量，但却是在实际上永远无法确知的常量，这带来了参数风险。为了用x来预测y，要求对参数α进行估计，得到估计值α^。虽然α是一个确定的常量，但估计量α^则是一个随机变量，因此我们选取任何一个取值均存在风险。在实践中点预测往往取估计量的期望值，仅仅因为期望值代表长期的趋势水平。参数风险由估计量的标准差测量σα^表达，标准差越大，参数估计量α^的不确定程度越大，预测的参数风险越大。¹⁴

预测值的置信区间可以同时体现参数风险和内在风险所带来的预测的不确定性。在预测研究中，报告点预测值并非预测的全部结果，甚至不是最重要的结果，而置信区间则是预测最重要的结果，它不但包含了预测的期望值，还包含了预测的不确定性程度。

第三类风险是模型风险，即选择特定的统计模型带来的预测风险。¹⁵预测模型和解释模型同样是建立在一系列假定基础上的，这些假定有可能是错误的，如选定什么样的预测量x，事件y与预测量的关系f(.)是什么，误差项ε遵循什么随机分布，对这些建模中极为重要的问题的回答却往往是依赖假定。研究者通常根据理论、经验、数据形态等作出一系列假定，并论证假定的合理性。我们可以判断假定是否合理，但却无法确知其真伪，也不能确定某一假定是唯一合理的假定。这就意味着，即使这些假定合理，它们也有可能是错的；即使没有错，它们也可能并非唯一合理的一组假定，还存在其他的合理假定选择。选择任何一个模型进行预测都有风险，即使通过模型比较而选择所谓“最优”的模型进行预测，也无法消除模型风险。由于选择出来的“最优”模型是在对已知样本的拟合比较和对已发生事件的预测比较中胜出的模型，因此很难确定在真正预测未来时“最优”模型能否给出最佳预测。模型选择的风险比内在风险和参数风险都要严重，且更难处理。多模型平均是将这种模型的不确定性考虑在预测的过程中，对多个合理模型的预测结果进行加权平均，优质的模型结果获得更大的权重。这种多模型平均预测方法在天气预报的模型预测计算中广泛应用。¹⁶本文将在再分析中使用多模型平均的方法来降低模型选择风险。

研究者在执行预测研究程序的每一个步骤中都要在不确定性中进行选择和判断，而每一个选择都会对预测结果的风险程度产生影响。因此，对风险控制的意识和方法运用须贯穿于预测程序的每一个步骤。

预测程序的第五步是预测结果报告和预测质量评估，即运用预测模型对数据进行处理和分析，并报告预测结果。预测包括样本内预测(within-sample prediction)和样本外预测(out-of-sample prediction)两种不同类型的预测，两种预测的目的和功能不同，但都是研究中必须进行的预测。样本内预测是建立模型后运用样本得到参数估计值及其标准差，再运用于同一样本来预测出样本中因变量的值。用数学表达即是：用一个特定样本S⁰＝{y⁰，x⁰}来估计出预测模型y＝f(x; a)＋ε中的参数值α^，然后运用算式f(x⁰; α^)来计算(预测)出y^0。样本内预测可以通过y⁰—y^0的比较来判断预测模型的拟合优度和内在风险，评估预测的内部有效性。从预测的研究目的来看，更为重要的是进行样本外预测，即从样本S⁰＝{y⁰,x⁰}推论出α^，然后用另一个不同的样本S¹＝{y¹,x¹}来评估预测表现——用算式y^1=f(x1;a^)预测y¹，并将预测值和实际值进行比较。而样本外预测用来检验预测模型的外部效度(external validity)，由于预测的最终目的是要对未知进行判断，因而缺乏外部效度的预测模型没有实际意义。样本内预测和样本外预测的表现——也就是预测模型内部效度和外部效度——之间的关系并非总是正相关关系。样本内预测表现好的模型进行样本外预测却可能很糟糕。比如，“厨房水槽”模型(Kitchen-Sink Model)就是把有关无关的变量统统放入模型的方法，它的样本内预测表现通常非常优异，但样本外预测却非常糟糕。样本内预测只要模型的样本内拟合优度高就能够精确预测，而样本外预测却要求模型建立的y和x之间的关系具有样本间的稳定性。

我们可以运用统计技术来降低不确定性，但无论研究者如何努力使用各种技巧与方法来控制风险，都无法消除风险，研究者应在尽量降低风险之外，严格地评估和报告风险。报告预测不确定性不仅是科学研究的标准和要求，而且只有报告了不确定性的预测研究才能更好地发挥对决策的辅助功能。在对第五步的预测结果进行分析和报告时，研究者不但要报告样本内和样本外预测的点预测结果，即y^0和y^1，还要报告预测结果的风险，可以用它们的标准差来表达，也可以用更为直观的置信区间来报告。置信区间对于运用预测结果进行决策具有非常直观地传达预测信息的优势，因为它给决策者以“最好情景”(上限值)、“最坏情景”(下限值)、“最可能情景”(中位值或期望值)、各种分位值等重要信息。

仅仅报告参数风险带来的预测风险还不够，在第五步中需要对预测结果的质量进行评估，即样本内预测和样本外预测与真实值相对比究竟表现如何。样本内预测从本质上是对拟合优度进行评估，可以用R²等在统计上常用的指标来进行评估。样本外预测可以通过对预测值和真实值之间差距评判的方法，如均方根误差(RMSE)和分类比较(classification)等方法进行评估。此外，由于还存在模型风险，预测研究应该对不同的预测模型或方法进行对比评估，检验预测所使用的模型是否比其他模型或方法表现更好，除了对R²、方根误差、分类比较等项目进行比较外，常用的方法还有受试者工作特征曲线(Receiver-Operating Characteristic，ROC)等。

变量选择是建立预测模型的重要环节，但当候选变量数量较多时，变量选择工作极富挑战性且计算成本高昂。本文的变量选择建立在PITF通过初选得到的43个变量的基础上，但根据PITF报告，一些变量在数据库中对应多个变量，我们无法完全复原这43个变量，而是得到48个候选变量。这48个变量可以组合成数量巨大的不同模型，因此在模型比较基础上选择变量是一件工程浩大的工作。变量选择的难度还由于变量之间的共线性增大而增加。图1报告了这48个变量的相关矩阵，图中的圆圈越大表明相关性越高。对角线的相关系数为1，因为对角线算变量与自身的相关性。从图1可见，变量之间具有较强相关性的不在少数，有一些相关系数非常接近1。在多重共线性高的情况下，某些变量是否出现在模型中，会较大地影响到与它们高度相关的变量对结果产生的影响。PITF运用的逐一递增或逐一递减的测试方法，在变量间存在较强的多重共线性的情况下，会产生较大偏差。

本文采用贝叶斯针板模型(Bayesian Spike & SlabPrior Model)来进行变量选择。贝叶斯线性针板模型最早于1988年由米歇尔(T.J.Mitchell)和布恰普(J.J.Beauchamp)提出³¹，运用一种特殊的混合分布作为模型参数的先验分布以达到变量选择的目的。如图2所示，针板混合先验分布在0这一点上设置一个高密度分布(即名称中的“Spike”，本文翻译为“针”)，对应图中处于0点的竖线；而在实数集的其他部分为较为平坦(flat)的分布(即名称中的“Slab”，本文翻译为“板”)，对应图中的曲面。这一混合分布的目的是让那些没有影响或影响甚微的预测量x_k的系数β_k，被分布中具有高密度的“针”部分吸入到0这个质点，通过x_kβ_k＝0将变量x_k实际剔除出模型；而那些有较强影响的变量的系数，则可以逃脱“针”的吸力而进入“板”的部分，从而这些变量的系数的后验分布则可以显著区别于0，因而得以保留在预测模型中。基于这个原理，针板模型在进行海量基因筛选的生物统计学中得到广泛运用。³²

本文使用的广义线性针板模型是杰夫·吉尔(Jeff Gill)和庞珣在乔治(Edward I．George)和麦克库罗其(Robert E．McCulloch)³³以及艾希瓦仑(Ishwaran)和饶(J.Sunil Rao)³⁴对针板模型最新发展基础上的改进和扩展。这种变量选择的方式利用了“贝叶斯学习机制”。³⁵贝叶斯针板模型设定用观察到的数据来对模型中所有参数的先验分布进行“更新”(updating)，得到参数的后验分布，即根据数据的情况判断参数的可能取值及其分布。这一更新机制被称为“贝叶斯学习”，建立在贝叶斯定理的基础上：

π(θ|D)=f(D|θ)π(θ)f(D)

其中θ代指模型中所有参数，等式的左边是参数的后验分布，而右边包含了参数的先验分布和更新机制。贝叶斯方法是具有高度普遍适用性的方法，且在模型设定方面具有相当的灵活性，能够根据数据的情况、研究目的和复杂理论进行模型设定调整。而贝叶斯针板模型所依赖的马可夫链—蒙特卡洛(简称MCMC)的模拟方法，突破了传统模型估计的种种限制，能够处理复杂模型和高维参数空间，只要算法能够收敛，就能够得到参数的整个后验分布的经验取值。MCMC的唯一局限在于，当后验分布极为复杂而数据信息不足时，MCMC有可能收敛困难或在空间中行进缓慢而需要较长时间才能得到参数的代表性取样。³⁶

本文运用针板Logit模型并进行MCMC重复迭代模拟计算，对48个候选变量应被剔除出预测模型的概率进行估计。在模拟中根据回归系数被吸入“针”部分的频率来估算该变量被剔除出模型的概率。表1报告了经过了“贝叶斯学习”后得到的各变量被排除在预测模型之外的概率，即概率p(β_k＝0|D) (D代指观察到的数据)。从表1中可看出，有一些变量在模拟中从来没有出现在模型中，即它们的回归系数在整个模拟过程中从未逃脱过质点0的吸入，表明它们入选模型的概率极低[p(β_k＝0|D)＝1.000]。这些变量包括总人口、前宗主国是否是英国、领导人的执政时间、经济歧视程度、议会负责程度、统治精英的意识形态、青年人口比例、劳动力相对规模、婴儿死亡率、预期寿命、城市人口、贸易伙伴的单一性、外汇储备波动，等等。这些变量之所以总被排除在外，并非一定是由于它们对政治动荡没有影响，而是由于这48个变量在理论和实证信息上都有不少重合，这些变量所包含的信息有可能在其他变量中已经得到体现。针板模型选择发现一些变量总是出现在模拟过程的模型中[即p(β_k＝0|D)＝0.000]，这些变量有贸易开放、政体(两种测度方法)、民主程度的变化、执政党合法性、政体持续时间、人均卡路里摄入量、人均国民生产值及其变化、与经济合作与发展组织(OECD)的贸易量等10个。本文的变量选择与PITF的撒哈拉以南国家预测模型最终的变量选择差异相当大。其中只有贸易开放和政体两个变量同时进入了PITF的最终预测模型且得到针板模型概率为1的支持。PITF模型中还包括了政治歧视程度，但针板模型中其入选概率只有44%；前宗主国为法国的入选概率也不足15%，领导人的执政时间更是入选概率为0。

虽然变量选择中出现了10个入选概率为1的变量，但并不说明建立在这10个变量基础上的预测模型就一定合理，因为这10个变量在测试中的表现与在模拟过程中其他变量是否同时出现在模型中有关，尽管其他变量的入选概率较低，但它们的出现与否会影响到这10个变量的入选概率以及效应规模。因此，仅仅根据入选概率来选定变量并构成最终模型仍然具有选择次优模型的风险，即由这10个拥有入选概率为1的变量组成的模型未必具有最佳的样本内和样本外预测表现。

针板模型的“选择性收缩效应”(selective shrinkage effect)在完成变量测试任务的同时还可实现模型平均。模型平均预测是基于多个预测模型预测结果进行加权平均，而权重是各预测模型的相对质量。³⁷

贝叶斯模型平均(Bayesian Model Averaging，简称BMA)是一种用来解决由模型不确定性造成推论和预测难题的方法。³⁸BMA的原理非常直观：对于待预测的量y_t＋1，定量预测是建立在观察数据y和x的基础上，用N个不同且合理的模型进行预测，最后的预测结果建立在所有N个预测的加权平均的基础上，如下式所示：

p(yt+1|y,x)=∑n−1Np(yt+1|y,x,Mn)p(Mn|y,x)

上式是运用观察到的数据y和x来预测y_t＋1，预测是基于N个合理模型M_n(n＝1，2，…，N)作出的预测的加权平均，其中权重为p(M_n|y，x)，即基于样本得到的模型相对“可能性”(模型的后验概率)。如何计算模型的“可能性”是一项非常艰巨的统计任务，需要全面探索模型的分布空间，而模型的可能形态通常数不胜数，是一个超高维空间。本文运用的针板模型的MCMC迭代模型随机抽样，可以非常简单地得到模型的经验概率。由于在MCMC算法每一次迭代模拟中，由针板先验分布选择预测量的去留而形成一个模型，因此相当于模拟算法根据不同模型的概率随机“取样”出一个模型。当算法收敛后，完成G³⁹次MCMC迭代模拟后，我们就可以根据每一个模型在模拟过程中随机出现的频率算出其经验概率p^Mn=Hn/G，其中H_n是模型M_n在G次迭代中出现的次数。这样我们得到数个预测模型M_n及它们在预测中的权重p^Mn来作为以上等式中p(M_n|y，x)的估计量。

在对撒哈拉以南地区国家政治动荡数据的分析中，针板Logit模型在模拟中抽样出了由不同预测量组合而形成的25个不同的模型。图3报告了这25个模型出现的经验概率以及所包含的变量(变量编号同表1的编号)。在模拟中，上文所提及的14个入选概率为0的变量没有出现在任何一个模型中。最简洁的模型包含了13个变量，比变量选择测试中的10个入选概率为1的变量多出3个。尽管变量选择测试中有10个变量入选概率为1，但仅以这10个变量组成的模型却没有在模拟过程中出现过。从模型的概率分布情况来看，其中22个模型的后验概率非常小，而概率最高的3个子模型的权重分别为0.1699、0.1212和0.1208，远高于其他模型，但没有一个模型有超过0.2的概率，说明在这一预测任务中，使用单一模型预测的模型风险较高。最优模型M₁包括13个协变量，次优模型包括19个协变量，第三名包括11个协变量，而PITF所用的最终模型只有7个变量。

根据这25个模型预测结果的加权平均(权重为图3的第二列)，我们对样本中162个时空点上高烈度政治动荡事件发生的概率进行样本内预测。图4报告了对爆发政治动荡的概率的点预测值和95%置信区间。图4中的虚线将观察量按政治动荡事件实际情况分为“发生”与“不发生”两组，虚线左边的时空点是样本中观察到的动荡事件发生的案例，而右边是控制案例，没有发生政治动荡事件。图4中的点预测和区间预测在概率分布上将事件发生与不发生的情况清晰地区分开来。从总体上看，对那些动荡事件(y_it＝1)，模型预测它们发生的期望概率均高于对动荡未发生事件(y_it＝0)的预测期望概率，而且两类事件预测概率的置信区间没有相交。

如果将门槛值设在概率为0.5，将那些预测概率高于0.5的单元定为预测“发生”，而低于0.5的单元定为预测“不发生”，本预测将可以宣称拥有100%的正确率。然而在实际预测中，门槛值应该在预测进行之前根据实现决策需要而设定，而不应当在事后根据预测结果来选择最大化“正确率”的门槛值。例如，如果我们认为“假阴性”错误带来的政策损失比“假阳性”错误大，那么这个门槛值在预测进行前就应设为低于0.5，低多少根据错误的相对代价进行设置，反之亦然。如果事先的门槛值设在0.7，则本预测即使将两类事件的预测区间完全区分开，仍然会根据门槛值在11个事件的预测上犯“假阴性”的错误，错误率为7.84%。PITF声称他们的正确率为80%且不报告置信区间、不报告门槛值、不报告门槛值的设置理由的做法是错误的。

本文进而通过对BMA预测和单一最佳模型预测的比较来进行模型预测质量及风险评估。在对预测的风险进行分析时，本文首先比较BMA和单一模型样本内预测的精度，然后采用预测对数得分⁴⁰和风险分类方法来评价和比较两种预测的样本外预测风险。